CONTENTS
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxv
Editors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii
Part I. Mathematics 1
M1. Arithmetic and Elementary Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M1.1. Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M1.1.1. Integer Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
M1.1.2. Real, Rational, and Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
M1.2. Equalities and Inequalities. Arithmetic Operations. Absolute Value . . . . . . . . 5
M1.2.1. Equalities and Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
M1.2.2. Addition and Multiplication of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
M1.2.3. Ratios and Proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
M1.2.4. Percentage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
M1.2.5. Absolute Value of a Number (Modulus of a Number) . . . . . . . . . . . . 7
M1.3. Powers and Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
M1.3.1. Powers and Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
M1.3.2. Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
M1.4. Binomial Theorem and Related Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
M1.4.1. Factorials. Binomial Coefficients. Binomial Theorem . . . . . . . . . . . . 9
M1.4.2. Related Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
M1.5. Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
M1.5.1. Arithmetic Progression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
M1.5.2. Geometric Progression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
M1.6. Mean Values and Some Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
M1.6.1. Arithmetic Mean, Geometric Mean, and Other Mean Values . . . . . . 11
M1.6.2. Inequalities for Mean Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
M1.6.3. Some Inequalities of General Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
M1.7. Some Mathematical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
M1.7.1. Proof by Contradiction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
M1.7.2. Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
M1.7.3. Proof by Counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Bibliography for Chapter M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
M2. Elementary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
M2.1. Power, Exponential, and Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
M2.1.1. Power Function: y = xα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
M2.1.2. Exponential Function: y = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
M2.1.3. Logarithmic Function: y = loga x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
M2.2. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
M2.2.1. Trigonometric Circle. Definition of Trigonometric Functions . . . . . . 19
M2.2.2. Graphs of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
M2.2.3. Properties of Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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vi CONTENTS
M2.3. Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
M2.3.1. Definitions. Graphs of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . 26
M2.3.2. Properties of Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
M2.4. Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
M2.4.1. Definitions. Graphs of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
M2.4.2. Properties of Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
M2.5. Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
M2.5.1. Definitions. Graphs of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . 33
M2.5.2. Properties of Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Bibliography for Chapter M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
M3. Elementary Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
M3.1. Plane Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
M3.1.1. Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
M3.1.2. Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
M3.1.3. Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
M3.2. Solid Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
M3.2.1. Straight Lines, Planes, and Angles in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
M3.2.2. Polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
M3.2.3. Solids Formed by Revolution of Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Bibliography for Chapter M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
M4. Analytic Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
M4.1. Points, Segments, and Coordinate Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
M4.1.1. Cartesian and Polar Coordinates on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
M4.1.2. Distance Between Points. Division of Segment in Given Ratio. Area
of a Polygon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
M4.2. Straight Lines and Points on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
M4.2.1. Equations of Straight Lines on Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
M4.2.2. Mutual Arrangement of Points and Straight Lines . . . . . . . . . . . . . . . . 66
M4.3. Quadratic Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
M4.3.1. Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
M4.3.2. Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
M4.3.3. Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
M4.3.4. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
M4.3.5. Transformation of Quadratic Curves to Canonical Form . . . . . . . . . . 75
M4.4. Coordinates, Vectors, Curves, and Surfaces in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
M4.4.1. Vectors and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
M4.4.2. Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
M4.4.3. Scalar, Cross, and Scalar Triple Products of Vectors . . . . . . . . . . . . . . 82
M4.5. Line and Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
M4.5.1. Plane in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
M4.5.2. Line in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
M4.5.3. Mutual Arrangement of Points, Lines, and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . 91
M4.6. Quadric Surfaces (Quadrics) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
M4.6.1. Quadrics and Their Canonical Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
M4.6.2. Quadrics (General Theory) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Bibliography for Chapter M4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
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CONTENTS vii
M5. Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
M5.1. Polynomials and Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
M5.1.1. Polynomials and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
M5.1.2. Linear and Quadratic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
M5.1.3. Cubic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
M5.1.4. Fourth-Degree Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
M5.1.5. Algebraic Equations of Arbitrary Degree and Their Properties . . . . . 108
M5.2. Determinants and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
M5.2.1. Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
M5.2.2. Matrices. Types of Matrices. Operations with Matrices . . . . . . . . . . . 114
M5.2.3. Inverse Matrix. Functions of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
M5.2.4. Eigenvalues and Characteristic Equation of a Matrix. The
Cayley–Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
M5.3. Systems of Linear Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
M5.3.1. Consistency Condition for a Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
M5.3.2. Finding Solutions of a System of Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . 124
M5.4. Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
M5.4.1. Quadratic Forms and Their Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
M5.4.2. Canonical and Normal Representations of a Quadratic Form . . . . . . 129
M5.5. Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
M5.5.1. Concept of a Linear Space. Its Basis and Dimension . . . . . . . . . . . . . 131
M5.5.2. Subspaces of Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
M5.5.3. Coordinate Transformations Corresponding to Basis Transformations
in a Linear Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
M5.5.4. Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Bibliography for Chapter M5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
M6. Limits and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
M6.1. Basic Concepts of Mathematical Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
M6.1.1. Number Sets. Functions of Real Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
M6.1.2. Limit of a Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
M6.1.3. Limit of a Function. Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
M6.1.4. Infinitely Small and Infinitely Large Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
M6.1.5. Continuous Functions. Discontinuities of the First and the Second
Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
M6.1.6. Convex and Concave Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
M6.1.7. Convergence of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
M6.2. Differential Calculus for Functions of a Single Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
M6.2.1. Derivative and Differential: Their Geometrical and Physical
Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
M6.2.2. Table of Derivatives and Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
M6.2.3. Theorems about Differentiable Functions. L’Hospital Rule . . . . . . . . 153
M6.2.4. Higher-Order Derivatives and Differentials. Taylor’s Formula . . . . . 154
M6.2.5. Extremal Points. Points of Inflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
M6.2.6. Qualitative Analysis of Functions and Construction of Graphs . . . . . 158
M6.2.7. Approximate Solution of Equations (Root-Finding Algorithms for
Continuous Functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
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viii CONTENTS
M6.3. Functions of Several Variables. Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
M6.3.1. Point Sets. Functions. Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
M6.3.2. Differentiation of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 163
M6.3.3. Directional Derivative. Gradient. Geometrical Applications . . . . . . . 166
M6.3.4. Extremal Points of Functions of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . 167
M6.3.5. Differential Operators of the Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Bibliography for Chapter M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
M7. Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
M7.1. Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
M7.1.1. Antiderivative. Indefinite Integral and Its Properties . . . . . . . . . . . . . . 171
M7.1.2. Table of Basic Integrals. Properties of the Indefinite Integral.
Examples of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
M7.1.3. Integration of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
M7.1.4. Integration of Irrational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
M7.1.5. Integration of Exponential and Trigonometric Functions . . . . . . . . . . 179
M7.1.6. Integration of Polynomials Multiplied by Elementary Functions . . . 181
M7.2. Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
M7.2.1. Basic Definitions. Classes of Integrable Functions. Geometrical
Meaning of the Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
M7.2.2. Properties of Definite Integrals and Useful Formulas . . . . . . . . . . . . . 184
M7.2.3. Asymptotic Formulas for the Calculation of Integrals . . . . . . . . . . . . 185
M7.2.4. Mean Value Theorems. Properties of Integrals in Terms of
Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
M7.2.5. Geometric and Physical Applications of the Definite Integral . . . . . . 188
M7.2.6. Improper Integrals with Infinite Integration Limits . . . . . . . . . . . . . . . 190
M7.2.7. Improper Integrals of Unbounded Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
M7.2.8. Approximate (Numerical) Methods for Computation of Definite
Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
M7.3. Double and Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
M7.3.1. Definition and Properties of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
M7.3.2. Computation of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
M7.3.3. Geometric and Physical Applications of the Double Integral . . . . . . 199
M7.3.4. Definition and Properties of the Triple Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
M7.3.5. Computation of the Triple Integral. Some Applications. Iterated
Integrals and Asymptotic Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
M7.4. Line and Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
M7.4.1. Line Integral of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
M7.4.2. Line Integral of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
M7.4.3. Surface Integral of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
M7.4.4. Surface Integral of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
M7.4.5. Integral Formulas of Vector Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Bibliography for Chapter M7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
M8. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
M8.1. Numerical Series and Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
M8.1.1. Convergent Numerical Series and Their Properties. Cauchy’s
Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
M8.1.2. Convergence Criteria for Series with Positive (Nonnegative) Terms 212
M8.1.3. Convergence Criteria for Arbitrary Numerical Series. Absolute and
Conditional Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
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K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page ix
CONTENTS ix
M8.1.4. Multiplication of Series. Some Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
M8.2. Function Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
M8.2.1. Pointwise and Uniform Convergence of Function Series . . . . . . . . . . 215
M8.2.2. Basic Criteria of Uniform Convergence. Properties of Uniformly
Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
M8.3. Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
M8.3.1. Radius of Convergence of Power Series. Properties of Power Series 218
M8.3.2. Taylor and Maclaurin Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
M8.3.3. Operations with Power Series. Summation Formulas for Power
Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
M8.4. Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
M8.4.1. Representation of 2π-Periodic Functions by Fourier Series. Main
Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
M8.4.2. Fourier Expansions of Periodic, Nonperiodic, Even, and Odd
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
M8.4.3. Criteria of Uniform and Mean-Square Convergence of Fourier Series 226
Bibliography for Chapter M8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
M9. Functions of Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
M9.1. Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
M9.1.1. Definition of a Complex Number. Arithmetic Operations with
Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
M9.1.2. Trigonometric Form of Complex Numbers. Powers and Radicals . . 230
M9.2. Functions of Complex Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
M9.2.1. Basic Concepts. Differentiation of a Function of a Complex Variable 231
M9.2.2. Integration of Functions of Complex Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
M9.2.3. Taylor and Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
M9.2.4. Zeros and Isolated Singularities of Analytic Functions . . . . . . . . . . . . 243
M9.2.5. Residues. Calculation of Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Bibliography for Chapter M9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
M10. Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
M10.1. General Form of Integral Transforms. Inversion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . 251
M10.2. Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
M10.2.1. Laplace Transform and the Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . 251
M10.2.2. Main Properties of the Laplace Transform. Inversion Formulas for
Some Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
M10.2.3. Limit Theorems. Representation of Inverse Transforms as
Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
M10.3. Various Forms of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
M10.3.1. Fourier Transform and the Inverse Fourier Transform . . . . . . . . . . 255
M10.3.2. Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
M10.4. Mellin Transform and Other Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
M10.4.1. Mellin Transform and the Inversion Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
M10.4.2. Main Properties of the Mellin Transform. Relation Among the
Mellin, Laplace, and Fourier Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
M10.4.3. Summary Table of Integral Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Bibliography for Chapter M10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
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x CONTENTS
M11. Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
M11.1. First-Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
M11.1.1. General Concepts. The Cauchy Problem. Uniqueness and
Existence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
M11.1.2. Equations Solved for the Derivative. Simplest Techniques of
Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
M11.1.3. Exact Differential Equations. Integrating Factor . . . . . . . . . . . . . . . 265
M11.1.4. Riccati Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
M11.1.5. Equations Not Solved for the Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
M11.1.6. Approximate Analytic Methods for Solution of Equations . . . . . . 269
M11.1.7. Numerical Integration of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 270
M11.2. Second-Order Linear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
M11.2.1. Formulas for the General Solution. Some Transformations . . . . . . 271
M11.2.2. Representation of Solutions as a Series in the Independent Variable 274
M11.2.3. Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
M11.2.4. Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
M11.3. Second-Order Nonlinear Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
M11.3.1. Form of the General Solution. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . 281
M11.3.2. Equations Admitting Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
M11.3.3. Methods of Regular Series Expansions with Respect to the
Independent Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
M11.3.4. Perturbation Methods in Problems with a Small Parameter . . . . . . 284
M11.3.5. Galerkin Method and Its Modifications (Projection Methods) . . . . 287
M11.3.6. Iteration and Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
M11.4. Linear Equations of Arbitrary Order and Linear Systems of Equations . . . . . 292
M11.4.1. Linear Equations with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
M11.4.2. Linear Equations with Variable Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
M11.4.3. Systems of Linear Equations with Constant Coefficients . . . . . . . . 298
M11.5. Nonlinear Equations of Arbitrary Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
M11.5.1. Structure of the General Solution. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . 301
M11.5.2. Equations Admitting Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Bibliography for Chapter M11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
M12. Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
M12.1. First-Order Quasilinear Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
M12.1.1. Characteristic System. General Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
M12.1.2. Cauchy Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
M12.2. Classification of Second-Order Linear Partial Differential Equations . . . . . . 307
M12.2.1. Equations with Two Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
M12.2.2. Equations with Many Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
M12.3. Basic Problems for Linear Equations of Mathematical Physics . . . . . . . . . . . 311
M12.3.1. Initial and Boundary Conditions. Cauchy Problem. Boundary
,,,,,,,,

S2.3.7. Expressions Involving Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999
S2.4. Tables of Fourier Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
S2.4.1. General Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
S2.4.2. Expressions Involving Power Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000
S2.4.3. Expressions Involving Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1001
S2.4.4. Expressions Involving Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
S2.4.5. Expressions Involving Logarithmic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002
S2.4.6. Expressions Involving Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003
S2.4.7. Expressions Involving Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
Bibliography for Chapter S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004
S3. Orthogonal Curvilinear Systems of Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005
S3.1. Arbitrary Curvilinear Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005
S3.1.1. General Nonorthogonal Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005
S3.1.2. General Orthogonal Curvilinear Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006
S3.2. Cylindrical and Spherical Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
S3.2.1. Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008
S3.2.2. Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009
Bibliography for Chapter S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010
K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xxiii
K10319: A.D.Polyanin and A.I.Chernoutsan, A concise handbook of mathematics, physics, and engineering sciences, Chapman & Hall/CRC, 2010 (v.6, Aug 2010) Page xxiv
xxiv CONTENTS
S4. Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
S4.1. First-Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
S4.1.1. Simplest Equations Integrable in Closed Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011
S4.1.2. Riccati Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012
S4.1.3. Other Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014
S4.2. Second-Order Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016
S4.2.1. Equations Involving Power Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017
S4.2.2. Equations Involving Exponential and Other Functions . . . . . . . . . . . . . 1024
S4.2.3. Equations Involving Arbitrary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
S4.3. Second-Order Nonlinear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028
S4.3.1. Equations of the Form y′x′x = f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028
S4.3.2. Equations of the Form f(x, y)y′x′x = g(x, y, y′x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030
Bibliography for Chapter S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034
S5. Some Useful Electronic Mathematical Resources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
S6. Physical Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
S6.1. Symbols and Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
S6.1.1. Greek Letters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
S6.1.2. SI Prefixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037
S6.1.3. SI Base Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
S6.1.4. SI Derived Units with Special Names . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
S6.1.5. Non-SI Units Accepted for Use with SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
S6.1.6. Other Common Non-SI Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039
S6.1.7. Base Planck Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
S6.2. Physical Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
S6.2.1. Universal Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
S6.2.2. Astronomical Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
S6.2.3. Planetary, Lunar, and Solar Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
S6.2.4. Electromagnetic Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
S6.2.5. Atomic and Nuclear Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
S6.2.6. Other Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
S6.3. Nuclear Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
S6.3.1. Masses of Light Nuclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
S6.3.2. Leptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043
S6.3.3. Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
S6.3.4. Elementary Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
S6.3.5. Some Baryons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044
S6.3.6. Some Mesons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045
Bibliography for Chapter S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
S7. Periodic Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047
Bibliography for Chapter S7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051